Аннотация. В этой статье мы рассмотрим закон Бенфорда — математическое правило, которое описывает вероятность появления определенной первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Мы рассмотрим несколько наборов данных из криптовалютной экосистемы, например, цены криптовалют и данные объема торгов. Мы объясним, что эту математическую концепцию не следует рассматривать отдельно и что для того, чтобы сделать правильные выводы, необходимо глубокое понимание экономики. Мы отметим, что официальные данные объема торгов на отдельных торговых платформах, в частности, OKEX и HitBTC, указывают на распределение, не соответствующее закону Бенфорда. Тем не менее, эта закономерность не свидетельствует о манипуляциях с данными; такому неожиданному распределению есть множество вполне логичных объяснений.
(Голливудский боевик «Расплата» (2016): Бен Аффлек объясняет Анне Кендрик аномально частое повторение цифры 3, которое может указывать на финансовое мошенничество. Тайм-код кадра: 41:40)
Суть закона Бенфорда
Закон Бенфорда описывает вероятность появления определенной первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Логично предположить, что встречаемость первой цифры в большинстве случаев составляет 11,1% (т.е. 11,1% для 1, 11,1% для 2, 11,1% для 3 и т. д.). Во многих случаях это действительно так, например, именно с такой частотой распределяются цифры в генераторе случайных чисел. Однако в физике, геологии, биологии, химии, архитектуре, демографии, финансах, бизнесе и других областях деятельности наблюдается другое частотное распределение (см. таблицу ниже), и наиболее распространена цифра 1 (встречается в 30,1% случаев), за ней следует 2 и т. д.
Частотное распределение первой значащей цифры в экспоненциально возрастающем геометрическом ряду
(Источник: BitMEX Research) (Примечание. Геометрический ряд начинается с 1, увеличивается на 2% при каждой итерации и содержит 5000 чисел).
Теоретически обосновать описанное выше явление довольно сложно. Найти краткое объяснение, которое действовало бы во всех случаях, просто невозможно. Главная характеристика, необходимая для соблюдения закона Бенфорда, — для анализа нужно несколько порядков данных.
На наш взгляд, лучше всего объяснить это явление можно на примере базового геометрического ряда. Итак, рассмотрим геометрический ряд чисел, возрастающих на 10% с каждой итерацией. Когда ряд достигает уровня 24 (40% от ряда двадцатых чисел), следующим числом в ряду будет 26,4 (все еще в пределах двадцатых чисел), а первой значащей цифрой будет 2. Если геометрический ряд достигает 84 (40% от ряда восьмидесятых чисел), следующим числом в последовательности будет 92,4, а значащая цифра изменится с 8 на 9. Это показывает, что в некоторых числовых последовательностях, которые встречаются в финансах или природе, первые значащие цифры меньшей величины встречаются чаще, чем цифры большей величины.
Применение закона Бенфорда в мире бизнеса и финансов
До прихода в BitMEX Research многие наши специалисты работали инвестиционными аналитиками или управляющими фондовыми портфелями. Еще в 2015 году, прочитав доклад Ассоциации сертифицированных экспертов по мошенничеству, коллега предложил использовать закон Бенфорда как инструмент обнаружения финансового мошенничества в официальных финансовых отчетах. По теории, если финансовые показатели компании реальны, цифры должны соответствовать закону Бенфорда, но если они подверглись манипуляциям или были сгенерированы случайным образом, значительные отклонения от закона Бенфорда неизбежны, что может указывать на финансовое мошенничество. Но, как показывают приведенные ниже сценарии, не всё так просто.
Рассмотрим два немного надуманных примера:
Пример 1 – Анализ выручки быстрорастущей американской технологической компании (Google)
В 1999 году выручка американского интернет-конгломерата Google [GOOGL US] составила всего 200 000 долларов США. За последние 20 лет компания значительно выросла, и сегодня выручка превышает 100 миллиардов долларов. Рост выручки Google охватывает несколько порядков величин, поэтому для анализа финансовых показателей группы можно применить закон Бенфорда.
Пример 2 – Анализ выручки медленно растущей японской энергетической компании (Hokkaido Electric)
В финансовом году, закончившемся в марте 2019 года, выручка японской компании Hokkaido Electric Power [9509 JP], специализирующейся на гидро-, тепловой и атомной энергетике, составила 752 млрд иен. При этом 25 лет назад выручка компании составляла 544 млрд иен; ни разу за последние 25 лет выручка не вышла за пределы диапазона 500-800 млрд иен. Первая значащая цифра годовой выручки компании в последние 25 лет составляла 5, 6 или 7, что, безусловно, не соответствует закону Бенфорда. Это необязательно является признаком мошенничества или других финансовых махинаций, а может просто указывать на консервативный характер компании, низкий рост населения, слабый экономический рост и относительно низкий уровень инфляции в Японии.
Частотное распределение первой значащей цифры
| Значащая цифра |
Закон Бенфорда
| Выручка Google (1999-2019) | Выручка Hokkaido Electric (1995-2019) |
| 1 |
30.1%
|
33.3%
|
0.0%
|
| 2 |
17.6%
|
19.0%
|
0.0%
|
| 3 |
12.5%
|
9.5%
|
0.0%
|
| 4 |
9.7%
|
9.5%
|
0.0%
|
| 5 |
7.9%
|
4.8%
|
72.0%
|
| 6 |
6.7%
|
9.5%
|
12.0%
|
| 7 |
5.8%
|
4.8%
|
16.0%
|
| 8 |
5.1%
|
4.8%
|
0.0%
|
| 9 |
4.5%
|
4.8%
|
0.0%
|
(Источник: BitMEX Research) (Примечание. Выручка Google указана в долларах США, а выручка Hokkaido Electric – в японских иенах)
Цель этих примеров — показать, что нельзя слепо применять закон Бенфорда к финансовому анализу. Для выполнения эффективного анализа необходимо глубокое понимание как законов математики, так и основополагающих экономических законов, по которым существует компания. По нашему мнению, делать однозначные выводы о деятельности финансовых рынков на основе статистического или математического анализа без достаточного понимания допущений и принципов, лежащих в основе математики, и их применения к финансам — ошибка, которую слишком часто допускают макроэкономисты и эконометристы. Мы не хотим повторять ее в этой статье.
Проанализировав динамику акций в нашем инвестиционном портфеле с помощью закона Бенфорда, мы обнаружили, что акции компаний в определенных секторах экономики (технологии, биотехнологии и сырьевые товары) часто следовали закону Бенфорда, в то время как в более стабильных секторах (продукты питания, коммунальные услуги, розничная торговля и строительство) картина была менее однозначной. Можно предположить, что при проведении базового анализа акций соответствие закону Бенфорда может служить скорее мерой волатильности или роста, чем признаком мошеннических манипуляций с цифрами.
Хотя закон Бенфорда можно считать инструментом для выявления возможного мошенничества, сам по себе он ничего не доказывает. Мы не повторим распространенную ошибку и не станем переоценивать силу закона Бенфорда как метода обнаружения мошенничества при выполнении анализа криптовалют
Цены криптовалют
Ниже мы применили анализ Бенфорда к ценам криптовалют. В целом, результаты показывают, что ценовая динамика криптовалют действительно следует закону Бенфорда.
Частотное распределение первой значащей цифры суточного изменения цены криптовалют (в %) за 12 месяцев, закончившихся в ноябре 2019 г.
(Источник: BitMEX Research, Coinmarketcap)
Если проанализировать квадратный корень суммы квадратов разностей в модели Бенфорда, самое большое отклонение наблюдается у Stellar, Bitcoin Cash и Litecoin, в то время как Ethereum и Ripple имеют самое низкое отклонение. Крайне маловероятно, что это указывает на манипулирование ценами Stellar, Bitcoin Cash и Litecoin, и вот почему:
- Все криптовалюты достаточно близко следуют закону Бенфорда, и с учетом случайного характера некоторое отклонение вполне ожидаемо.
- Более низкое отклонение может просто указывать на волатильность криптовалюты, поэтому изменение цены (в %) с большей вероятностью будет неоднородным, если проанализировать несколько порядков величин.
- Возможно, один год – слишком короткий период, чтобы сделать правильные выводы (например, в случае биткоина, чем больше временной интервал, тем более точно числовое распределение соответствует закону Бенфорда).
- Отклонения могут быть вызваны другими факторами, которые мы не учли.
Платформы для торговли криптовалютами
Проанализировав ценовую динамику коинов, мы рассмотрели суточный объем торгов пары USD/BTC на платформах торговли криптовалютами. В этом случае мы получили более интересные результаты с более значительными отклонениями. Большинство рассмотренных нами платформ достаточно близко следуют закону Бенфорда; исключение составляют BitForex, HitBTC и OKEX.
Частотное распределение первой значащей цифры суточного объема торгов BTC/USD на криптовалютных платформах
(Источник: BitMEX Research, Investing.com) (Примечание. Суточный объем торгов с 12 декабря 2018 г.)
Таблица результатов. Частотное распределение первой значащей цифры суточного объема торгов BTC/USD на криптовалютных платформах
(Источник: BitMEX Research, Investing.com) (Примечание. Суточный объем торгов с 12 декабря 2018 г.)
Квадратный корень из суммы квадратов разностей по закону Бенфорда
(Источник: BitMEX Research, Investing.com) (Примечание. Суточный объем торгов BTC/USD с 12 декабря 2018 г.)
Хотя обнаруженные выше отклонения от закона Бенфорда кажутся значительными и представляют потенциальный интерес, тут уместны те же оговорки, что и в разделе, посвященном ценам криптовалют: в данном случае встречаемость цифр может быть индикатором роста или волатильности, периоды времени могут быть слишком короткими или же отклонения могут быть вызваны другими факторами.
Заключение. Безусловно, заключение этой статьи не в том, что закон Бенфорда доказывает, что OKEX и HitBTC фальсифицируют свои показатели объема торгов, или даже то, что Kraken и Bittrex этого не делают. Как мы объяснили выше, соблюдение закона Бенфорда зависит от множества факторов, и в некоторых случаях отклонения совершенно естественны, например, если платформа пережила период активного роста (или, наоборот, период стабильности). В обзоре биржи CryptoCompare используется более целостный подход к анализу, гораздо более надежный, чем применение одной-единственной идиосинкразической математической концепции. Но если вы уже знакомы с некоторыми экономическими аспектами и тенденциями развития криптовалютных платформ, этот анализ может стать источником ценной дополнительной информации.